محاسبات عددی یا آنالیز عددی به تنظیم، مطالعه و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حل آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حل نیستند. برخی از مسائل مورد نظر محاسبات عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مربوط به فیزیک و مهندسی از جمله‌ی زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی است.

محاسبات عددی به مطالعه‌ی روش‌ها و الگوریتم‌هایی گفته می‌شود که تقریب‌های عددی (در مقابل جواب‌های تحلیلی) را برای مسائل ریاضی بکار می‌برند.

آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود.

تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروفند. برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه‌ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روش‌های دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود، چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

برآورد خطاها

تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های آنالیز عددی است این خطاها در روش‌های تکرار شونده وجود دارد چون به هر حال جواب‌های تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد به وجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را درآخر روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

کاربردها

الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل‌ها، در طراحی هواپیما، در پیش‌بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود. همچنین اکثر ابررایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

نرم‌افزار‌ها

امروزه بیشتر الگوریتم‌ها توسط رایانه اجرا می‌شوند. نرم‌افزارهایی برای اجرای محاسبات ریاضی طراحی شده‌اند. از مهم‌ترین و کاربردی‌ترین آنها می‌توان به نرم‌افزارهایی زیر اشاره کرد:

• مپل (Maple) 
• متمتیکا (Mathematica) 
• جی‌ان‌یو اکتاو (GNU Octave) 
• متلب (Matlab) 
• سایلب (Scilab) 
• زبان برنامه‌نویسی آی‌دی‌ال (IDL) 
• زبان برنامه‌نویسی آر (R] (R، یک زبان برنامه‌نویسی و محیط نرم‌افزاری برای محاسبات آماری و علم داده‌ها است، که بر اساس زبان‌های اس و اسکیم پیاده‌سازی شده است. این نرم‌افزار متن باز، تحت اجازه‌نامه عمومی همگانی گنو عرضه شده و به رایگان قابل دسترس است. زبان اس بجز R، توسط شرکت Insightful در نرم‌افزار تجاری اس‌پلاس نیز پیاده‌سازی شده است.]

زیرشاخه‌های آنالیز عددی

خطای عددی و پایداری عددی: این زیرشاخه به محاسبه‌ی تفاوت تقریب‌های عددی و جواب‌های تحلیلی (خطای عددی) و نیز پایداری روش‌های عددی می‌پردازد.

یافتن ریشه‌ی معادلات جبری: این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای ریشه‌ی معادلات جبری می‌پردازد.

درونیابی و تقریب: این زیر شاخه به محاسبه‌ی فرمول تقریبی یک تابع با استفاده از اطلاعات محدود از آن تابع می‌پردازد.

انتگرال‌گیری عددی: این زیرشاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای انتگرال ها می‌پردازد.

جبر خطی عددی: این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب سیستم های خطی می‌پردازد.

حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی: این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل معمولی می‌پردازد.

حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی: این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می پردازد.

بهینه‌سازی عددی: این زیرشاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب مسائل بهینه‌سازی می‌پردازد.