مقاله تحلیلی: آنالیز غیرخطی

وقتی که درباره تحلیل غیرخطی بحث می‌شود، معمولاً اولین چیزی که به ذهن می‌آید رفتار غیرخطی مصالح است. این رفتار آشکارترین جنبه در محاسبات می‌باشد. نمی‌توان به جرات گفت که تحلیل غیرخطی مصالح مهم‌ترین تحلیل است اما بدون شک یک بخش مهم از دانش مهندسی می‌باشد. در ادامه به بررسی این نوع تحلیل و توضیح عملکرد آن خواهیم پرداخت.

جنبه‌های زیادی از رفتار غیرخطی مصالح وجود دارد که تا به امروز مرا گیج کرده است! با صداقت می‌توانم بگویم که من در بسیاری از آن جنبه‌ها هیچ تجربه‌ای ندارم چرا که سال‌های زیادی باید برای کسب این تجارب تلاش کنم.

من یک مهندس عمران هستم که گرایش من در سازه‌های فولادی است. لذا برای من غالباً رفتار غیرخطی مصالح با تسلیم آن‌ها ارتباط دارد.

منحنی تنش-کرنش فولاد

در اینجا من وارد جزئیات زیادی نخواهم شد. کاملاً مطمئن هستم که اگر شما درگیر کار مهندسی باشید، این نمودار را صدها بار دیده‌اید! شکل فوق منحنی تنش-کرنش مهندسی برای فولاد است. همچنین می‌توان نمودار تنش -کرنش واقعی را رسم کرد که موضوع امروز ما نیست. خوشبختانه در بخشی که امروز ما از این منحنی استفاده خواهیم کرد، تفاوت دو منحنی مذکور قابل توجه نیست.

نکته مهم این است که یک بخش الاستیک (که در آن تنش متناسب با کرنش است)، یک بخش پلاستیک (که در آن کرنش پلاستیک تقریباً بدون تغییر در تنش مصالح توسعه می‌یابد) و سپس بخش‌های باریک شدگی وجود دارند.

امروز من بیشتر بر روی 2 بخش از این شکل متمرکز خواهم شد- بخش الاستیک و بخش پلاستیک. بدین معنی که برای کرنش‌های محدود می‌توانم فولادم را به ‌صورت مصالح با رفتار دوخطی با ویژگی‌های زیر در نظر بگیرم:

این یک مدل متعارف الاستوپلاستیک دوخطی می‌باشد. گاهی اوقات از کرنش سختی (کار سختی) نیز استفاده می‌شود (خط ثابت پلاستیک افقی نیست و کمی شیب دارد).

مدل دوخطی الاستوپلاستیک تنها برای کرنش پلاستیک حداکثر مشخصی (که در آن افزایش مقاومت آغاز می‌شود) کارایی دارد. این نقطه را من در نمودار سمت چپ با عنوان «حداکثر کرنش پلاستیک مجاز» نشان داده‌ام.فعلاً فرض می‌کنم که مدل ما به این مقدار کرنش زیاد نخواهد رسید. در تحلیل‌های واقعی این موضوع را می‌توان به سادگی با نمایش مقادیر کرنش پلاستیک و کنترل مقادیر حداکثر آن در نقاط مورد نظر بررسی کرد. همان‌طور که در نمودار سمت راست می‌بینید، برای مقادیر کرنش‌های پلاستیک بیشتر، مدل به صورتی عمل خواهد کرد که گویا بخش ثابت پلاستیک تا بی‌نهایت ادامه دارد. این موضوع می‌تواند تأثیر منفی بر روی صحت نتایج داشته باشد لذا کنترل حداکثر کرنش پلاستیک ایده خوبی است.

کرنش «آزاد»

مصالح زیادی دارای منحنی تنش-کرنش غیرخطی می‌باشند. اکثر آن‌ها در ابتدا سخت‌تر هستند و با افزایش تنش، به تدریج سختی آن‌ها کاهش می‌یابد؛ اما در مورد فولاد این گونه نیست و به همین دلیل است که به تسلیم شدگی می‌رسد.

تسلیم بدین معنی است که مصالح فولادی تنش را حفظ می‌کنند (لذا ظرفیت آن‌ها ثابت می‌ماند) اما کرنش در آن‌ها افزایش می‌یابد. این موضوع منفعت زیادی دارد. تسلیم شدگی منافع بسیار زیادی (و البته مسائل زیادی) دارد اما در اینجا من بر روی جنبه‌های مربوط به توزیع تنش پلاستیک تمرکز خواهم کرد.

درباره این موضوع به ‌صورت زیر تفکر کنید:

۳ نفر یک سنگ را بر روی سر نگه می‌دارند. فردی که در وسط قرار دارد، قدش کوتاه است و نمی‌تواند سنگ را نگه دارد لذا کاری انجام نمی‌دهد در حالی که افراد قد بلندتر در طرفین تمامی وزن سنگ را تحمل می‌کنند. تصور کنید که این افراد نماینده مصالح ترد بوده و سنگ بسیار سنگین است. در ابتدا 2 فرد بلندتر تسلیم شده و سپس فردی که در وسط است در برابر وزن سنگین سنگ تسلیم خواهد شد؛ اما همان‌طور که قبلاً گفتم:

فولاد می‌تواند سطح تنش مشخصی را حفظ کند (تسلیم) در حالی که کرنش آن افزایش می‌یابد.

در مثال ما، شرایط مذکور بدین معنی است که آن دو نفر قد بلند در هنگام نگه داشتن سنگ از شدت بار خم شوند! در این شرایط سنگ پایین‌تر خواهد آمد و در نهایت فرد وسط می‌تواند کمک برساند ... و حالا هر سه نفر سنگ را حمل می‌کنند نه دو نفر!

این حالت باز توزیع پلاستیک یا اصلاح پلاستیک نامیده می‌شود. البته برای این کار محدودیت‌هایی وجود دارد:

• کرنش‌های پلاستیک نمی‌توانند خیلی زیاد باشند- افرادی که سنگ را نگه می‌دارند تا مقدار مشخصی می‌توانند خم شوند.
• نمی‌توان این حالت را همیشه انتظار داشت- اگر شما از افراد قد بلند انتظار دارید که همیشه در حالت خم شده باشند باید انتظار این مورد را هم داشته باشد که آن‌ها نهایتاً خسته شده و خستگی بر آن‌ها غلبه خواهد کرد (خستگی از نوع سیکل آهسته-موردی خطرناک است!).
• سخت شوندگی ایزوتروپیک/کینماتیک مصالح- در هر سیکل منحنی تنش کرنش به مقدار کمی تغییر می‌کند.

تحلیل غیرخطی مصالح در المان فولادی به چه شکل عمل می‌کند؟

قیاس‌هایی که انجام شد بسیار مفید هستند اما بگذارید ببینیم که واقعاً در یک المان فولادی چه اتفاقی می‌افتد. ساده‌ترین مثال یک تیر در حالت خمش می‌باشد:

همان‌طور که می‌توانید ببینید، تنش در سطح پایینی و بالایی مقطع عرضی بیشترین مقدار خود را دارد، در حالی که در وسط تنش‌ها کوچک‌تر هستند. واضح است که این شرایط حالت الاستیک را نشان می‌دهد.

برای توضیح اینکه پلاستیسیته چگونه عمل می‌کند، نیاز به انجام آزمایش کوچکی داریم. فرض کنید که من بخش کوچکی از تیر را در وسط آن برش بزنم. خمش بدین معنی است که «قسمت‌های قائم» برش مقطع عرضی ما بخواهد مانند شکل زیر دوران داشته باشند (مشخص است که تغییر مکان‌ها مقیاس دیگری دارند اما می‌خواهیم آن‌ها را ببینیم لذا تغییر مقیاس صورت گرفته است):

حالا من این بخش کوچک را به چندین لایه افقی برش خواهم زد. اساساً کرنش اختلاف بین «شکل تغییر نیافته اصلی» و «شکل تغییریافته زمانی که خمش اعمال می‌شود» نسبت به طول اصلی می‌باشد. به سادگی می‌توان مشاهده کرد که لایه‌های خارجی (1 و 7) دارای تغییر مکان زیادی هستند (لذا کرنش زیاد است). با حرکت به سمت وسط مقطع عرضی، کرنش کاهش می‌یابد.

مشخص است که کرنش در هر لایه نسبی است و زمانی که مقاطع عرضی در خمش (که معمولاً این حالت رخ می‌دهد) به ‌صورت مسطح باقی می‌مانند، به ‌صورت خطی تغییر می‌کنند. لذا زمانی که حداکثر کرنش در لایه 1 برابر با 0.0035 است آنگاه حداکثر کرنش در لایه 2 برابر با 0.0025 بوده و در لایه 4 حداکثر کرنش برابر با 0.0005 می‌باشد. این مقادیر با شیب خطی با یکدیگر رابطه دارند.

ما فرض کردیم که مقاطع عرضی در خمش به ‌صورت مسطح باقی می‌مانند. این موضوع بدین معنی است که بخش‌های قائم مقطع برش خورده تقریباً به ‌صورت خطوط مستقیمی باقی خواهند ماند. این فرضی منطقی می‌باشد. با وجود دانشی که از قبل داریم که افزایش کرنش در لایه 1 با ضریب 2 صورت می‌گیرد، ما کرنش را در هر لایه با ضریبی یکسان افزایش خواهیم داد؛ به عبارت دیگر کرنش در مقطع عرضی ما مشابه با شکل زیر می‌باشد:

بنابراین بگذارید به منحنی تنش کرنش دوخطی برای فولادی که در این بخش بکار گرفته‌ایم برگردیم. زمانی که مصالح در ناحیه الاستیک قرار دارند، تنش متناسب با کرنش افزایش می‌یابد؛ اما زمانی که به بخش ثابت پلاستیک می‌رسیم کرنش افزایش می‌یابد اما تنش ثابت باقی می‌ماند.

یک مقدار حدی برای کرنش زمانی که تسلیم اتفاق می‌افتد، وجود دارد. همان‌طور که در بالا دیدید، محاسبه آن بسیار آسان است. ما از قبل می‌دانیم که کرنش‌ها در هر مقطع عرضی تغییر می‌کنند، بگذارید ببینیم این تغییر چگونه بر توزیع تنش در همان مقطع عرضی تأثیر می‌گذارد:

همان‌طور که می‌توان دید در ابتدا تنش بسیار بالایی در بخش‌های خارجی مقطع عرضی وجود داشت، در حالی که در بخش میانی این چنین تنشی دیده نشد. این مشابه حالتی است که سه نفر سنگ را بر بالای سرهایشان نگه داشته بودند. با افزایش کرنش (برای 3 دوستمان که خم شده بودند) فولاد همچنان توانایی تحمل تنش را دارد. با این حال منفعتی وجود دارد و آن این است: هرچه کرنش بیشتر باشد، درصد بیشتری از مقطع وزن را تحمل می‌کند! کرنش بالاتر در سطوح خارجی به مقطع عرضی داخلی نیز امکان تغییر شکل می‌دهد. به این صورت وجود تنش نیز دیده می‌شود و کمک به تحمل خمش خواهد کرد که دقیقاً مشابه با فرد کوتاه‌تر عمل می‌کند!

این اثر ناچیز نیست- از طریق خمش بدین صورت در یک مستطیل، اضافه ظرفیتی برابر با %50 به دست خواهید آورد! برای یک تیر I شکل این مقدار برابر 6 تا 10 درصد خواهد بود اما باید یک چیز را به خاطر داشت.

چیزی که باید به خاطر داشت:

رفتار غیرخطی مصالح جالب است! من امیدوارم توانسته باشم چیزی به شما نشان داده باشم که ارزش وقت گذاشتن و خواندن آن را داشته باشد. برای جمع بندی، مهم‌ترین نکات عبارت‌اند از:

• هر جا که کرنش در مصالح آن‌قدر زیاد باشد که دچار تسلیم شوند، باید از مدل مصالح غیرخطی استفاده کنید.
• ساده‌ترین مدل قابل استفاده، مدل دوخطی است. با این حال باید کنترل کنید که کرنش‌های حداکثر مدل شما از کرنش‌هایی که در آن افزایش مقاومت روی می‌دهد، فراتر نرود.
• تسلیم اجازه می‌دهد که بخشی از بار طاقت فرسا به بخش دیگری از سازه منتقل شود (که مانند «فرد وسط» عمل می‌کند).
• باز توزیع پلاستیک بارها بسیار مفید است، اما در صورتی که بارها با زمان تغییر کنند، مشکلاتی مانند خستگی در سیکل پایین باید لحاظ شوند.

منبع

 نوشته شده توسط تیم مترجمین موسسه 808

 اگر دوست دارید به تیم مترجمین 808 بپیوندید، با ما تماس بگیرید.

دریافت فایل PDF مقاله برای اعضای VIP رایگان است. سایر کاربران با پرداخت ۵۰۰ تومان می توانند اقدام به دریافت این فایل کنند.