مقاله تحلیلی: تحلیل غیرخطی هندسی

تحلیل غیرخطی هندسی در تحلیل سازه‌ها بسیار مفید است. این تحلیل می‌تواند به شما در سنجش درستی مدلتان کمک کند. این تحلیل امکان بهینه سازی فوق‌العاده‌ای را در سازه فراهم می‌کند. در این مقاله اصول تحلیل غیرخطی هندسی با استفاده از مثال‌های عملی و نه تئوری شرح داده خواهد شد.

چه خواهید آموخت؟

در این متن عملکرد تحلیل غیرخطی هندسی توضیح داده خواهد شد. مثال‌هایی در این متن انتخاب شده‌اند که خروجی‌های مختلفی در روش‌های خطی و غیرخطی خواهند داشت. حالات بسیار زیادی وجود دارد که در آن‌ها طراحی خطی و غیرخطی در عمل نتایج یکسانی دارند. با این وجود حالات زیادی نیز وجود دارد که در آن‌ها روش غیرخطی واقعاً ضرورت دارد.

همیشه با چیز مثبتی آغاز کنید

در مورد تحلیل غیرخطی هندسی، بهترین مثال یک طناب است که شما از آن لباس‌های شسته شده خود را آویزان می‌کنید.

 یک ژاکت خیس چقدر وزن دارد ... 5 کیلوگرم؟ فرض کنید طناب 5 متر طول دارد و لنگر خمشی برابر با 0.0625kNm تولید خواهد کرد. ناچیز به نظر می‌رسد؟ اما قطر این طناب فقط 5 میلی‌متر است (فرض کنید که طنابی ضخیم دارید، قطر طناب من 3 میلی‌متر است...). 

مدول مقطع این مقطع عرضی برابر با 0.0123cm^3 است. این بدین معناست که برای تحمل وزن ژاکت (به ‌صورت یک تیر) طناب باید تنش 0.0625kNm/1.23e-8 m^3=5081MPa را تحمل کند که تنها 20 برابر بیشتر از تنش در فولاد است.

مثال فوق یک روش خطی متعارف در این مسئله بود. تغییر مکان در مثال بالا رسم نشده است! در حقیقت محاسبه این تغییر مکان نیز ساده خواهد بود. در صورتی که طناب از فولاد ساخته شده باشد (که بسیار دور از واقعیت است)، تغییر شکل آن برابر با 20.2 متر خواهد بود.

 تصور کنید که طناب من چقدر باید افزایش طول داشته باشد تا به این اندازه تغییر شکل دهد (طناب 5 متری 20 متر تغییر شکل دهد؟!؟). این سؤال ما را به درک هندسه غیرخطی که تئوری تغییر شکل‌های بزرگ در آن استفاده می‌شود، نزدیک‌تر می‌کند.

وقتی که طناب غیرخطی می‌شود

می‌بینید که طناب نمی‌تواند طبق روش خطی 20.2 متر افزایش طول داشته باشد. اما مطمئناً مقداری افزایش طول خواهد داشت! همان‌طور که می‌دانید این افزایش طول نیروی کششی را در طناب ایجاد خواهد کرد. متقابلاً این نیروی کششی کل سیستم را پایدار نگه می‌دارد تا تغییر مکان‌ها کاهش یابد.

در تغییر مکان‌های بزرگ مانند مثال فوق، خیز تنها برابر با 57 میلی‌متر می‌باشد ( با فرض اینکه طناب از جنس فولاد است). برای طناب نایلونی این مقدار حدود 237 میلی‌متر بوده و نیرو در این حالت تنها برابر با 0.26kN خواهد بود (برخلاف 1.07kN برای سیم فولادی).

من معتقدم که طنابم می‌تواند باری معادل 26 کیلوگرم را در کشش مدیریت کند.

اما تحلیل غیرخطی هندسی چگونه عمل می‌کند؟

به شکل شماتیک فوق نگاه کنید. با فرض اینکه من طناب را از وسط بریده‌ام، یک نیروی کششی N (مقداری که ما محاسبه کردیم) که طناب را به سمت داخل می‌کشد، وجود خواهد داشت. بر روی دیواری که طناب به آن متصل است نیز یک نیروی عکس‌العمل در جهت افقی قرار دارد که برابر با N می‌باشد. این دو نیرو یک جفت نیرو را به وجود می‌آورند که می‌توانند لنگر حاصل از بار را تحمل کنند.

در حالت خطی لنگر خمشی را برابر با 0.0625kNm به دست آوردیم. در حالت غیرخطی سیم فولادی با نیروی عمودی 1.07kN به اندازه 57 میلی‌متر تغییر شکل داد. 1.07kN=0.061 kNm 0.057m ×. در مثال دوم طناب نایلونی با نیروی عمودی برابر با 0.26kN به اندازه 237 mm تغییر شکل داد. 0.237m×0.26kN=0.0616kNm. هر دو نتیجه کاملاً صحیح نیستند، اما نسبتاً نزدیک بوده و نشان می‌دهند که راجع به این مسئله چگونه باید فکر کرد. 

به نکات زیر توجه شود:

• هرچه خیز بیشتر باشد نیروهای کششی کمتر خواهد بود(به همین دلیل برای طناب نایلونی نیرو کاهش یافته است).
• از نظر تئوری هر جسمی باید تا حد امکان تغییر شکل دهد تا بارها را کاهش دهد.
• برای مقدار تغییر مکان محدودیتی وجود دارد. مصالح مدول یانگ مشخصی دارند و مقطع عرضی استفاده شده ممان اینرسی و سطح مقطع بخصوصی دارد. این مقطع تا جایی که بتواند تغییر شکل داده و سپس متوقف خواهد شد.
• در صورتی که تغییر مکان‌ها کوچک باشند، تیر (نام "طناب" دور از واقعیت است زیرا بسیار صلب می‌باشد!) درست مشابه حالت خطی، لنگر خمشی زیادی را متحمل می‌شود و نیروی کششی اندکی خواهد داشت و یا بدون نیرو خواهد بود.
• در صورتی که تغییر مکان‌ها بزرگ باشند، لنگر خمشی کوچک بوده و نیروی کششی ظاهر خواهد شد.
• اگر تغییر مکان‌ها متوسط باشند، مقدار لنگر و نیروی کششی کم خواهد بود.

ممکن است این‌گونه نتیجه گیری شود که هندسه غیرخطی مثبت بوده و با چشم پوشی از آن ایمنی حفظ می‌شود. متأسفانه این نتیجه گیری صحیح نیست:

مانند همیشه در طراحی استاتیک- هیچ چیز بدون هزینه نخواهد بود. در اینجا این هزینه را ما با نیروی کششی در تکیه گاه‌ها پرداخت کرده‌ایم. 

ماهیت تحلیل غیرخطی مصالح

هندسه غیرخطی نه مثبت است و نه منفی ... چیز ساده‌ای است!

تصور کنید که طناب در بین دو ستون قرار دارد. در صورتی که از منظر طناب به موضوع نگاه کنید، هندسه خطی بد بوده یا لااقل محافظه کارانه است. این موضوع بدین خاطر است که نیروهایی را که در طراحی خطی تخمین خواهید زد، تا حد زیادی نسبت به واقعیت دست بالا هستند. بدین معنی که شما می‌توانید طناب را به ‌صورت ایمنی حتی بسیار محافظه کارانه طراحی نمایید.

از طرفی دیگر برای ستون‌ها، روش خطی نسبتاً خوش‌بینانه است. این روش بار قائمی را که از طناب منتقل خواهد شد در نظر می‌گیرد، اما به ‌طور کامل نیروی افقی را حذف می‌کند. بدین معنی که هیچ خمشی در ستون‌ها وجود نخواهد داشت، و باعث طراحی غیر محافظه کارانه در روش طراحی استاتیکی خطی خواهد شد.

همان‌طور که می‌توان دید رویکرد هندسه غیرخطی در مورد طناب کمک کننده و در مورد ستون‌ها دست و پا گیر است. متأسفانه نمی‌توانید در مورد استفاده از آن انتخابی داشته باشید، هندسه غیرخطی همیشه وجود دارد!

اگر تغییر مکان‌های مدل کوچک باشند، تأثیرات هندسه غیرخطی نیز کوچک خواهد بود. مشکل این است که گاهی اوقات تشخیص این که آیا تغییر مکان‌ها به اندازه کافی کوچک هستند که از هندسه غیرخطی چشم پوشی شود، دشوار است.

در این مثال موضوع دیگری هست که باید آن را در نظر بگیریم. اگر ستون‌ها در جهت قائم بارگذاری سنگینی داشته باشند، تغییر مکان محاسبه شده در روش غیرخطی با خروج از محوریت در ستون‌ها همراه خواهد شد. این خروج از محوریت باعث خمش بیشتری می‌شود (که غالباً خمش مرتبه دوم یا خمش ثانویه نام‌گذاری می‌شود) که در برخی حالات ممکن است بسیار مهم باشد. این نیز یک اثر غیرخطی هندسی می‌باشد.

جمع بندی

تحلیل غیرخطی هندسی یک ابزار بسیار مفید در طراحی سازه می‌باشد. در صورتی که با المان‌هایی مواجه شدید که تغییر مکان زیادی داشتند، این تحلیل بهترین روش است. در صورتی که روش خطی در مورد سازه شما صحیح باشد، از تحلیل غیرخطی هندسی نیز به نتایج یکسانی خواهید رسید. اما اگر تحلیل شما باید از این تحلیل غیرخطی استفاده کند، آنگاه این تحلیل تنها گزینه برای یک طراحی صحیح خواهد بود.

منبع

 نوشته شده توسط تیم مترجمین موسسه 808

 اگر دوست دارید به تیم مترجمین 808 بپیوندید، با ما تماس بگیرید.

دریافت فایل PDF مقاله برای اعضای VIP رایگان است. سایر کاربران با پرداخت ۱۰۰۰ تومان می توانند اقدام به دریافت این فایل کنند.